 |
|
Sæbebobler og deres matematikMange har som barn ladet sig fascinere af sæbebobler, men også på intellektuelt plan har sæbebobler igennem tiderne været genstand for stor opmærksomhed. Hvorfor bliver de så fine og så farvestrålende og hvorfor har de den form de har? Det viser sig, at man skal søge efter forklaringer i både fysikken, kemien og matematikken. Vi skal på dette sted ikke give en udtømmende beskrivelse af fænomenet - det er emnet alt for omfattende og kompliceret til. Vi skal blot kigge på nogle spredte aspekter. Idéen til nærværende emne er udsprunget af et et studieretningsprojekt (SRP), som en gymnasieelev på min skole skrev i efteråret 2009. En del billeder og en video fra projektet vil blive vist, og nogle vigtige matematiske sammenhænge vil blive skitseret. Kun skitseret, da jeg ikke ønsker at ødelægge emnet for kommende opgaveskrivere.
SæbefilmHvis man dypper en trådramme ned i en sæbeopløsning og forsigtigt fjerner den fra væsken, så kan man se en sæbefilm spændt ud i rammen. Den flade, som sæbefilmen automatisk indstiller sig i, afhænger af rammens geometri. Hvis rammen er plan, vil filmen også være plan. Det kender vi fra når børn dypper en lille ring på en pind ned i sæbeopløsningen for at lave sæbebobler. Hvis rammen ikke er plan, så er situationen mere kompliceret. Men kan man sige noget generelt om, hvad der sker? Svaret er ja. Det har vist sig, at sæbefilmen generelt indstiller sig i en såkaldt minimalflade. Vi skal berøre dette emne lidt nærmere i et senere afsnit. Først lidt historie.
Joseph Plateau
Den nødvendige matematik til at afklare mange af problemerne blev først udviklet i det 20. århundrede, og faktisk er området stadig et aktivt forskningsfelt. Plateaus problem, at enhver glat kurve i R3 er rand for en glat minimalflade, blev først vist generelt i 1930 af Jesse Douglas. Det indbragte ham en Fields medalje i 1936. Fieldsmedaljen er mindst at sammenligne med en Nobel Pris, idet den kun uddeles hvert fjerde år og kun til personer, som gennemførte deres forskningsmæssige resultater i en alder af højst 40 år! Det matematiske felt, hvori det pågældende problem blev løst, kaldes variationsregning, og redskaber fra den geometriske målteori kommer også i spil.
Fysikken og kemienEt vigtig fysisk begreb i forbindelse med sæbebobler er overfladespænding. Molekylerne i en væske tiltrækker nemlig hinanden. Nede i væsken vil disse tiltrækningskræfter opveje hinanden, men nær overflade vil nettoresultatet være kræfter, der virker i overfladens plan og nedefter i væsken. Grunden til at det er meget bedre at lave bobler med sæbevand frem for med ren vand er sjovt nok, at sæben reducerer overfladespændingen til ca. 1/3 af den oprindelige værdi. Der er også en masse kemi i emnet sæbevand, men jeg vil overlade det til læseren at studere det på egen hånd. Det er også omtalt indgående i artiklen [2]. Når en sæbefilm har givet en bestemt rand, så vil filmen automatisk indstille sig, så filmens overfladeareal bliver mindst muligt, netop på grund af overfladespændingen. Der er andre fysiske aspekter af sæbebobler. For eksempel kan farvemønstrene i sæbefilmen beskrives. Det handler her om fænomenet brydning og interferens. Dette er beskrevet i både [1] og [3].
MatematikkenLad os arbejde videre med påstanden om at når en rand er givet, så vil overfladespændingen automatisk søge at minimere arealet af den sæbefilm, der skal have den givne rand. For at gøre det simpelt, vil vi kigge på det tilfælde, hvor randen består af tre lodrette pinde. De er spændt ud mellem to parallelle plader af plexiglas, så man har en fast struktur, der kan nedsænkes i sæbeopløsningen. Sæbefilmen skal altså spændes ud mellem disse tre pinde mellem de to plader. Af symmetrigrunde vil løsningsfladerne derfor også være lodrette, og det betyder, at vi kan betragte det matematiske problem som to-dimensionalt. I stedet for flader, skal vi finde kurver – her kurver, som forbinder tre punkter. Det er oplagt, at disse kurver har kortest længde, hvis de er rette linjer. Det er derfor rimeligt at søge efter det punkt i planen, der har den mindste sum af afstande til de tre ”randpunkter”. Det overraskende er, at det søgte punkt P har den egenskab, at hvis man tegner linjer fra punktet ud til de tre pinde, så deles de 360 grader i tre lige store vinkler på 120 grader.
I artiklen [2] bevises sidstnævnte påstand faktisk ved relativt elementære midler, som er tilgængelig på gymnasieniveau. Beviset gør brug af egenskaber ved ellipsen. Jeg skal kun antyde beviset her. Antag for det første, at P er det punkt, der har den mindste sum af afstande til de tre pinde, defineret ved punkterne A, B og C. P er altså det punkt, som minimerer |AP| + |BP| + |CP|. Man skal nu forestille sig en snor med længden |AP| + |BP|, hvor enderne fastgøres til punkterne A og B. Når man lader en blyant strække snoren ud og kører rundt med blyanten, så fremstilles en ellipse med brændpunkter i A og B. Det er en velkendt egenskab ved ellipsen. På grund af den valgte længde af snoren, vil ellipsen passere igennem punktet P. Færdig med ellipsen. Nu tegnes en cirkel med centrum i C og med radius lig med |CP|. Valget af radius sikrer, at cirklen også passerer igennem P. Næste påstand er at cirklen og ellipsen vil tangere hinanden, som vist på figuren nedenfor til venstre. Rigtigheden heraf kan indses ved at antage, at det modsatte var tilfældet, dvs. at cirklen og ellipsen skar igennem hinanden, som vist på figuren til højre. Det overlades til læseren at overbevise sig om, at så kan P ikke være det punkt, der har den mindste sum af afstande …
Vi ved altså nu, at cirkel og ellipse tangerer hinanden. I de videre argumenter skal man benytte en anden smuk egenskab ved ellipsen: For ethvert punkt Q på en ellipse gælder der, at normalen til tangenten i Q deler vinklen AQB til brændstrålerne i to lige store vinkler v.
Et bevis herfor kan findes i forskellige bøger om ellipser, også til gymnasiet, fx [6]. Med denne egenskab på plads er man klar til at kigge på vinkler, idet man naturligvis udnytter de tilsvarende symmetriske resultater, som fremkommer ved ombytning af bogstaverne A, B og C. Flere detaljer kan ses i artiklen [2]. Brugen af egenskaber ved ellipser er en elegant tilgang til at bevise den ønskede sammenhæng. Bemærkning: Det søgte punkt P kan naturligvis beregnes med et CAS værktøj, men man kan også konstruere sig frem via den såkaldte synsvinkelbue. Læseren opfordres til at undersøge dette nærmere.
Steiner netværkDe tre linjestykker AP, BP og CP i forrige afsnit udgør et såkaldt Steiner netværk. Betingelsen er, at man har givet en række punkter og at disse skal forbindes med hinanden via rette linjestykker. Dette kan også gøres på andre måder. Et andet netværk består for eksempel af linjestykkerne AB, BC og CA – altså siderne i trekanten udspændt af A, B og C. Summen af deres længder er dog større end summen af længderne AP, BP og CP. Steinerproblemet består i at finde det korteste netværk! Lad os kigge på Steiner netværk for 4 punkter. Husk at alle punkter skal forbindes indbyrdes! Vi ser på tilfældet, hvor de fire punkter sidder i hjørnerne af et kvadrat. Nedenfor er vist seks mulige Steiner netværk. Der er flere - prøv at finde flere selv ...
Du kan også prøve at finde længderne af de forskellige netværk. Det viser sig, at det sidste netværk er det med kortest længde. Under dannelsen af sæbefilmen vil filmen automatisk "glide" ind i den tilstand med mindst længde. Der findes dog netværk, hvor sæbefilmen indstiller sig i et lokalt minimum. Det er for eksempel tilfældet i tilfældet med en regulær hexagon, altså en regulær sekskant. Her er der tre lokale minima, som vist nedenfor. Hermed menes, at hvis man perturberer systemet en smule, så vil det falde tilbage i den oprindelige tilstand, fx ved at puste til sæbefilmen. Puster man stærkt nok kan man måske få sæbefilmen til at falde over i et af de andre minima. Det absolutte minimum fås for netværket til venstre.
En anden undersøgelse man kunne foretage er at se hvordan sæbefilmen opfører sig, når man flytter selve punkterne i netværket. Eleven Lærke undersøgte det for et netværk, hvor fire punkter sidder i et rektangel. Hun havde fået fremstillet en imponerende konstruktion med to parallelle plexiglasplader med en indbyrdes afstand på knap 3 cm, holdt fast med fire metalpinde med skruer.
Derudover er der fire metalpinde som ikke er fastgjorte, men som smart sidder løst via nogle magnetanordninger. Hun kan nu bevæge to af pindene, så rektanglet ændres. Du kan registrere hvad der sker i videoen nedenfor. Man skal især lægge mærke til hvad der sker til sidst! Klik på billedet for at se videoen.
Man ser, hvordan sæbefilmen automatisk indstiller sig, særligt til sidst, lige idet fladerne danner et kryds. En nærmere forklaring på fænomenet kan findes i [2].
Sammensatte sæbeboblerDet er velkendt, at man kan få sæbebobler til at fusionere. Fusioneres to kuglerunde sæbebobles vil der opstå en "hybrid" sæbeboble, hvor dele af de oprindelige to kugler stadig består, men hvor "berøringsfladen" mellem de to kugler er erstattet af en ny kugleflade med en ny radius. Den nye fælles kugleflade er såmænd bestemt derved, at de tre flader i ethvert punkt på skæringscirklen danner indbyrdes vinkler på de gammelkendte 120°! Man kan regne på dette - perfekt til gymnasieniveauet - og vise, at der gælder følgende smukke formel:
hvor rA og rB er radierne af de oprindelige to sæbebobler og rC er radius af den nye kugleflade, som udgør berøringsfladen mellem de to oprindelige sæbebobler. Situationen ser vist i to dimensioner nedenfor. Udgangspunktet for et bevis for formlen er at tangenterne danner vinklerne 120 grader med hinanden, som vist med de orange linjestykker nedenfor. Det grønne fuldt optrukne cirkeludsnit indikerer den nye fælles flade i 2D!
Vi skal selvfølgelig også lige se et billede af fusionerede sæbebobler, her endda med tre bobler:
EksperimenterI dette afsnit skal vi kigge på resultaterne af forskellige eksperimenter, hvor de fleste er udført af eleven Lærke fra Haderslev Katedralskole i året 2009 og 2010. Ifølge Lærke er det vigtigt at vælge den rigtige sæbeblanding for at sæbeboblerne kommer til at holde længst muligt.
Ovenfor et billede af Lærke i sving i kemilaboratoriet.
Sæbeboblerne reflekterer lyset fra omgivelserne. Derfor kan man se billeder af træer, skyer m.m. i sæbeboblerne. Undertiden kan man endda være heldig, at se fotografen i sæbeboblen, som tilfældet er i det nederste bille til højre! Man bemærker også, at sæbeboblerne stort set er symmetriske omkring deres midtpunkter, dvs. hvis man spejler spejlbilledet i sæbeboblens midtpunkt, så går billedet over i sig selv. Angående farvespillet i en sæbeboble, så er det beskrevet ret indgående i [2] og [7], hvor fysiske emner som brydning og farvespektre bliver berørt. Når man laver sæbebobler, så registrerer man også en ting: I starten kan sæbeboblerne være ganske farverige, men kort før de dør forsvinder farverne ofte. Det skyldes fordampning fra overfladen. Under sæbeboble Design har jeg vist hvordan Lærke med et sugerør kan designe sine egen komposition af sæbebobler ved sammensætning. Det er på billederne endda lykkes at frembringe en terning og noget, der ligner et dodekaeder. Kemilæreren Bo hjælper til med at blæse røg ind i boblerne. Under Geometriske modeller har vi afprøvet et specielt model kit fra firmaet Zometool. Man bygger simpelthen nogle geometriske figurer ved hjælp af nogle byggesten. Firmaet kan findes på www.zometool.com. Man kan bestille direkte online og få det sendt til Danmark. I Danmark har jeg set, at de har nogle af sættene i shoppen i Steno museet. Jeg benyttede specifikt det kit, der hedder Crazy Bubbles plus nogle ekstra elementer fra et andet sæt, som jeg også havde anskaffet. Idéen er at man for eksempel bygger et terninge-gitter og nedsænker det i sæbevandet. Det forunderlige er så, at der indstiller sig en såkaldt minimalflade, som er et begreb, der vil blive omtalt i næste afsnit. Klik på billederne for en større version!
Krumning af plane kurverMan kan definere begrebet krumning i ethvert punkt af en glat plan kurve. En præcis definition kan du finde i min note Vejgeometri på følgende side: Vejgeometri. På siden Piet Heins Superellipse betragtede vi også begrebet krumning. Løst sagt er krumningen defineret ud fra hvor hurtigt tangenten drejer omkring det pågældende punkt. Man kan endvidere definere en såkaldt krumningscirkel i ethvert punkt på kurven. Den "kysser"
kurven i den forstand at det er den cirkel, som bedst tilnærmer kurven i det pågældende punkt. Hvis krumningen i et punkt P betegnes kP, så er krumningsradius i dette punkt lig med rP = 1/kP. På figuren nedenfor er der givet to eksempler: I punktet P er krumningsradius relativ stor og krumningen dermed lille. I punktet Q er krumningsradius derimod lille, så krumningen
er stor. Det stemmer med den intuitive opfattelse af begrebet krumning! I øvrigt sætter man for kurver i planen også fortegn på krumningen: Hvis tangenten i en lille omegn omkring punktet drejer i positiv omløbsretning, så siges krumningen at være positiv, i modsat fald negativ. Derfor er krumningen positiv i P og negativ i Q.
I øvrigt skal det tilføjes, at rumlige kurver også kan tildeles en krumning, men her er det uden fortegn, da man i rummet ikke kan tale om en positiv omløbsretning! Begreberne stemmer overens for en plan kurve, som ligger i rummet, pånær eventuelt et fortegn!
Flader og deres normalkrumningVi skal nu kigge på flader. Betragt for eksempel den orange flade på figuren nedenfor. Vi kigger på et punkt P på denne. Da fladen er antaget tilpas "pæn", har fladen en tangentplan i dette punkt. Man kan nu forestille sig, at man foretager et plant snit vinkelret på tangentplanen igennem punktet P. Det vil skære en kurve a ud på fladen og en linje v ud i tangentplanen. Krumningen af kurven a kaldes for fladens normalkrumning i punktet P langs v - på nær eventuelt et fortegn! Angående fortegnet, så er der en lille besværlighed at forklare her, og vi skal passe på ikke at blive for tekniske. Vi kigger kun på flader, der har en såkaldt orientering, hvormed menes, at man på "differentiabel vis" kan tildele en enhedsvektor til ethvert punkt på fladen; en enhedsvektor, som skal stå vinkelret på tangentplanen i dette punkt. Man tror måske, at det kan man altid, men der findes faktisk flader, hvor det ikke er muligt. Et eksempel på en ikke-orienterbar flade er Möbiusbåndet. Den interesserede læser må læse videre herom andetsteds. Men vi antager altså at fladen er orienteret med sådanne enhedsvektorer i ethvert punkt. Den lilla pil på figuren nedenfor viser enhedsvektoren i punktet P. Vi er nu klar til at forklare fortegnet for krumningen: Hvis snitkurven a i blot en lille bitte omegn omkring P ligger helt på samme side af tangentplanen, som enhedsvektoren gør, så skal fortegnet til normalkrumningen være positivt. Hvis snitkurven i blot en lille bitte omegn om P ligger på modsat side af tangentplanen i forhold til enhedsvektoren, så skal fortegnet på normalkrumningen være negativt! Vi undlader at berøre det tilfælde, hvor hverken det første eller det andet er tilfældet! I punktet P kan man jo foretage uendeligt mange vinkelrette snit, og for hver af dem får man altså en snitkurve med en eller anden normalkrumning. Det kan bevises, at der findes (mindst) to retninger, som står vinkelret på hinanden og så normalkrumningen er størst mulig i den ene retning og mindst mulig i den anden retning. Disse to retninger betegnes de principale retninger, og de tilhørende normalkrumninger betegnes de principale krumninger i P. Disse krumninger kaldes undertiden også for hovedkrumninger! Det er disse to retninger, som er søgt afbildet på figuren nedenfor. De principale retninger er angivet ved v1 og v2, og de principale krumninger med k1 og k2.
Matematikerne har fundet ud af, at særligt to størrelser er interessante i den sammenhæng: Produktet af de principale krumninger (Gauss-krumningen) og gennemsnittet af de principale krumninger (middelkrumningen):
I næste afsnit skal vi se sidstnævnte anvendt.
MinimalfladerEn minimalflade er en flade, hvor middelkrumningen i ethvert punkt er 0. Det er klart, at det er en kraftig betingelse på en flade, at middelkrumningen skal være 0 i ethvert punkt. Den første ikke-plane minimalflade, der blev opdaget, var katenoiden (Eng. Catenoid). Det var Leonhard Euler, der beskrev den i 1740. Den er et omdrejningslegeme af den såkaldte kædelinje (Eng. Catenary). Det andet ikke-plane tilfælde af en minimalflade blev beskrevet af Jean Babtiste Meusnier i 1776. Der er tale om den såkaldte vindelflade (Eng. Helicoid). De to flader er afbildet på figurerne nedenfor. Hvis du lader cursoren bevæge sig henover billederne, vil du se et billede, hvor der er vist transparens i den tredimensionelle figur, og hvis du klikker på figurerne, vil du endda i et nyt vindue få en figur frem, som du kan manipulere i 3D! Du kan uden videre dreje figuren her, men hvis du højreklikker på figuren, får du også en række ekstra muligheder i kontekstmenuen ...
Anvendelser af teorien om minimalflader finder i dag anvendelse indenfor biologi og fysik og for nylig også i nanoteknologi. Indenfor kunst og arkitektur er Sprechelsens triumfbue (La Grande Arche de la Défense) og det Olympiske stadion i München eksempler på, hvor minimalflader er benyttet i arkitekturen.
Linkswww.glassner.com (En meget interessant side af en ekspert i computergrafik) Nogle væsentlige dele af matematikken bag sæbebobler har Andrew Glassner beskrevet i de to fremragende artikler Andrew Glassner's Notebook - Soap Bubbles: Part 1 og Andrew Glassner's Notebook - Soap Bubbles: Part 2. De kan købes online (se litteraturlisten), men du kan måske også finde dem gratis på Internettet. En anden fremragende kilde er bogen af Cyril Isenberg: The Science of Soap Films and Soap Bubbles.
Litteratur
Opdateret 15. november 2015. |
|
|
