Den pythagoræiske stemning

På min side med det gyldne snit var vi inde på, hvorledes pythagoræerne satte snart alting i forbindelse med forholdet mellem hele tal, herunder også i musikteorien. På denne side skal vi gøre rede for, hvordan man kan foretage en pythagoræisk stemning af vores klaver bestående af 12 tangenter i hver oktav. Udgangspunktet for den pythagoræiske stemning er - udover at der skal være eksakte oktaver (forhold 2:1) - at man også ønsker eksakte kvinter (forhold 3:2). Vi skal se, at det ikke helt lader sig gøre - vi må slå os til tåls med en enkelt kvint, som ikke er ren - ulvekvinten. Først vil jeg beskrive den proces, hvormed man kan bestemme tangenternes frekvensforhold, derefter vil jeg kommentere, hvorfor den er fornuftig.
 

Trin 1

Først lægger vi os fast på en udgangstone, nemlig det midterste C på et klaver. I det følgende vil vi - for at få en mere uniform fremstilling - regne i frekvensforhold frem for egentlige frekvenser. Frekvensforholdene regnes i forhold til udgangstonen, her C. Hvis man så senere ønsker de egentlige frekvenser, kan man blot gange frekvensforholdene med frekvensen for det midterste C. Først vil vi indføre en akse, som er logaritmisk i frekvensforholdene. Det skal være totalslogaritmen, da vi derved opnår, at værdien på aksen vokser med 1, når frekvensforholdet fordobles - dvs. vi går en oktav fremad. På figuren ses, hvordan inddelingen på den nederste log2-akse fås fra inddelingen på en sædvanlig ækvidistant akse:
 

 

Trin 2

Fra C med frekvensforholdet 1 går vi nu en række kvinter både fremad og tilbage. Det svarer til at gange frekvensforholdene med 3/2, henholdvis dividere frekvensforholdene med 3/2. Da totals-logaritmen til 3/2 er 0,5849... svarer det til at flytte de nye frekvensforhold et antal gange med 0,5849... til højre, henholdsvis mod venstre på den logaritmiske akse.  
 



 

 

Over hver kvint er anbragt et tal, som svarer til det antal gange, der er gået en kvint fremad (minus hvis tilbage). I det følgende vil jeg for at undgå talforvirring undlade aksetal og i stedet for med "kasser" angive oktaverne:
 


Trin 3

I det følgende skal vi foretage et valg. Vi skal bruge 12 toner i hver oktav. Vi vælger at gå 6 kvinter mod højre og 5 mod venstre. Det betyder, at vi skal kunne se lidt mere end på figuren. Klik evt. på nedenstående billede for at kunne se hele det ønskede område.

Vi adderer/subtraherer nu et helt antal oktaver, så tonerne, frembragt af ovennævnte kvinter, kommer til at ligge i den første oktav efter det midterste C. Figuren her viser de tre første "flytninger":

Efter alle flytningerne vil det se således ud:

Jeg har givet de toner, som kommer fra kvinter fra højre side i forhold til det midterste C en blå farve og dem, der kommer fra venstre side en grøn farve.

 

Trin 4

Lad os se på tangenterne på et klaver og betegnelserne for de enkelte toner. Nedenfor har jeg afbildet tre oktaver fra et klaver.


 

Bemærk, at hver af de sorte tangenter kan hedde lidt forskelligt. Den sorte tangent efter C kan fx hedde Db (Engelsk: D flat) eller C# (Engelsk: C sharp). Db hentyder til en halvtone under D, mens C# hentyder til en halvtone over C. I nogle stemninger er Db og C# det samme (fx den ligesvævende stemning), men ikke i den pythagoræiske. Vi kan nu tilføje tangenter til den tidligere figur, idet vi for de sorte tangenters vedkommende bruger flat-versionen, hvis tonen blev dannet ud fra kvinter gående mod venstre (negativt tal for oven), mens vi anvender sharp-versionen, hvis tonen blev dannet ud fra kvinter gående mod højre (positivt tal for oven). Det giver:

Frekvensforholdene for hver tone i denne oktav kan vi bestemme ved at huske på, hvordan de blev til, og hvordan de blev flyttet. Tonen E betegnet med et 4-tal fortæller os, at den stammer fra tone, vi fik ved at gå 4 kvinter mod højre. Dens frekvensforhold i forhold til det midterste C er dermed (3/2)4, men da den senere blev flyttet to oktaver baglæns, så bliver dens endelige frekvensforhold (3/2)4·2-2. Hvad angår tonen Ab, så stammer den stammer fra en tone, vi fik ved at gå 4 kvinter mod venstre, og derefter flytte tonen 3 oktaver mod højre. Derfor er dens frekvensforhold i forhold til det midterste C lig med  (3/2)-4·23. Der er tale om en sort tangent, og her vælger vi flat-versionen, da den stammer fra en kvint gående mod venstre. Altså:
 


 

På lignende måde kan de øvrige frekvensforhold udregnes:
 


som altså er den skala, som fremkommer ved at anvende 5 kvinter mod venstre og 6 mod højre.

 

Trin 5

Tonerne i de øvrige oktaver fås blot ved at "parallelforskyde" tonerne i den oktav, vi lige har fyldt op. n. Klik evt. på nedenstående billede for at kunne se hele det ønskede område.

Af praktiske hensyn har jeg kaldt tonerne i de forskellige oktaver med de samme bogstavsbetegnelser.

 

Kommentarer

Lad os se lidt på egenskaberne for den toneskala, som vi lige har konstrueret. For det første indser vi, at skalaen har eksakte kvinter fra det midterste C og 6 kvinter op og 5 kvinter ned, for skalaen blev skabt ud fra disse. Først blev tonerne skabt ved, at de 11 kvinter flyttet ind i oktaven med det miderste C ved at addere/subtrahere et antal oktaver, hvorefter de blev flyttet ud til hver eneste oktav igen - dvs. de kommer alle tilbage på plads igen! Spørgsmålet er, om skalaen også indeholder eksakte kvinter med udgangspunkt i andre toner? For at analysere dette, er det hensigtsmæssigt at udregne intervallerne mellem tonerne i en enkelt oktav. Det er vist på figuren nedenfor. Frekvensforholdet mellem tonen C og tonen G  - som altså i musiksproget her kaldes et interval - ses at være 9/8. Den diatoniske skala er den, som indeholder tonerne hørende til de hvide tangenter. Der er syv toner heri: C-D-E-F-G-A-H. I den kromatiske skala, som indbefatter alle 12 toner, får vi selvfølgelig nogle mindre frekvensforhold (intervaller). Vi ser til vores glæde, at der til trods for tilstedeværelsen af mange forskellige brøker, kun findes to slags intervaller i hver af de to skalaer. Det er umiddelbart en fordel. Bedst havde det selvfølgelig været, hvis alle intervaller var ens, men så havde vi haft at gøre med en perfekt skala. Kendsgerningen at ikke alle er ens er netop årsagen til at der kan opstå problemer med den pythagoræiske stemning i nogle musikstykker.     

 

 

Man siger i øvrigt, at den diatoniske skala indeholder toneintervaller, som både er heltoner og halvtoner. Intervallerne C-D, D-E, F-G, G-A og A-H er alle heltoner, mens intervallerne E-F og H-C er halvtoner. I den kromatiske skala består alle intervallerne af halvtoner.

Men lad os vende tilbage til spørgsmålet med eksakte kvinter. Kvinter fås jo ved at gå 7 tangenter (inklusiv de sorte) fremad eller tilbage. Vi har allerede argumenteret for at fx intervallet C-G i en given oktav er eksakt. Men hvad er situationen, hvis vi starter i en anden tone? Det kan analyseres ved at anbringe to oktaver sammen og så ellers udregne kvinter heri. Det er gjort på figuren nedenfor. Til vores store overraskelse er langt de fleste kvinter eksakte. Der er faktisk kun én, som ikke er - det er kvinten mellem Ab og Eb.

 

 

Lad os regne denne kvint ud ved at dividere frekvensforholdet for slutværdien med frekvensforholdet for begyndelsesværdien. Det giver som vist ca. 1,47981. I forhold til den eksakte kvint på 1,50 udgør den ca. 98,65%, dvs. den skyder under den eksakte værdi med ca. 1,35%. Den kvnt betegnes også en ulvekvint, fordi den ikke er ren og lyder så dissonant (uharmonisk).

 

 

Man har noget, som hedder det pythagoræiske komma. Det er forholdet mellem et interval på 12 eksakte kvinter og 7 eksakte oktaver. Faktisk svarer det til den reciprokke brøk af brøken ovenfor!

 

 

Det er klart, at man aldrig vil kunne lykkes med at få et interval på et helt antal eksakte kvinter til at være lig med et interval på et helt antal eksakte oktaver. Det godt gør sætningen om entydig primfaktoropløsning!

 

Til sidste skal det lige antydes, at den pythagoræiske stemning ikke er entydig bestemt. Der er faktisk mange muligheder for små variationer. Ovenstående udledning byggede på, at vi "gik 6 rene oktaver frem og 5 tilbage. Man kunne i stedet have valgt -4 til 7 eller endda fx -1 til 10. Det vil give flere "sharp-versioner" på de sorte tangenter. På figuren nedenfor er vist et sæt af muligheder. I nogle versioner af den pythagoræiske stemning skal flat-versionen benyttes, i andre tilfælde sharp-versionen.

 

 

Ved brug af de alternative muligheder introduceres imidlertid brøker mellem større hele tal, hvilket normalt ikke er så ønskeligt. Til aller sidst skal det nævnes, at der også er rigtig mange rene kvarter (forhold 4:3) i den pythagoræiske stemning. Det svarer til et interval på 5 tangenter, når de sorte regnes med.

 

Siden opdateret 19.07.19.