 |
|
VinkeltredelingUnder emnet Geometriske konstruktioner, blev begrebet konstruktion med passer og lineal defineret. På denne side skal vi se nærmere på det tredje klassiske problem: Vinklens tredeling. Problemet viste sig at være overordentligt kompliceret og først i 1837 blev det endeligt afklaret, at der ingen løsning findes. I processen for at nå til denne erkendelse, kom algebraen til at spille en fundamental rolle. Det skulle tage over 2000 år og koste indsatsen fra flere kulturer før en endelig afklaring forelå. Jeg vil nedenfor beskrive flere aspekter heraf. Vi skal også se på vinkeltredelinger med ekstra hjælpemidler, som de gamle grækere tyede til. Til sidst vil jeg give en kort oversigt over idéen i et bevis for problemets uløselighed. Du kan også downloade en omfattende note herom. Her er en indholdsfortegnelse, så du hurtigt kan komme frem til emnerne længere nede på siden:
For at give en illustration af den entusiasme, som problemet har skabt udenfor egentlige matematikerkredse, vil jeg desuden vise et løsningforslag fra en tidligere kaptajn fra Marstal.
En indskydningsmetodeEn af de metoder grækerne fandt på var en indskydningsmetode. På figuren nedenfor skal vi se, hvordan den fungerer: Givet en vinkel A'BC'. Man konstruerer nu et eller andet rektangel ABCD, så A ligger på benet BA' og så C ligger på benet BC'. I det følgende forsøger man at finde en linje gennem B, så det linjestykke EF, som linjestykket AC og forlængelsen af DA afskærer på linjen, er dobbelt så langt som linjestykket AB. Figur 1
At det er rigtigt, at BF tredeler vinklen A'BC' fremgår umiddelbart af figuren, hvor G er midtpunktet af EF. Bemærk, at vi dermed har, at både trekant AFG og trekant ABG er ligebenede.
Nikomedes' konoideNikomedes (ca. 220 f.Kr.) betragtede en særlig kurve, hvormed han kunne tredele vinkler. Der er tale om den såkaldte konoide. Den fremkommer ved at man som udgangspunkt har en ret linje og et punkt O, som ikke ligger på linjen. Lad nu P være et punkt på linjen og tegn en linje igennem O og P. Stykket k fra P ude af denne linje afsættes et punkt Q. Når P fejer hen over den oprindelige linje, genererer de tilhørende punkter Q en kurve, som kaldes konkoiden med parameter k, basis l og pol O. Figur 2
Vi skal nu se, at man umiddelbart kan bruge konkoiden til at tredele vinkler med. Givet en vinkel A'BC' . Tegn en linje l vinkelret på benet BC', så den skærer vinklen i to punkter, kaldet A og C. Tegn herefter konkoiden med pol B, basis l og med parameterk lig med det dobbelte af længden af linjestykket AB. Konstruér så en linje gennem A, vinkelret på l til skæring med konoiden i punktet F. Linjestykket BF tredeler da den oprindelige vinkel A'BC' . Rigtigheden heraf ses straks af afsnittet om indskydningsmetoden ovenfor. Drejer man figur 1 ialt 90 grader, så fås situationen nedenfor. Det var her vigtigt, at vi valgte konoidens parameter til at være lig med det dobbelte af længden af linjestykket AB. Man kan sige, at konoiden sparer én for besværet med at " indskyde" stykket EF omtalt i figur 1. Figur 3
Pappus' keglesnitsmetodeVi skal nu se på en metode, hvor man bruger et keglesnit til at tredele en vinkel med. Pappus (ca. 290 - ca. 350 e. Kr.) er den sidste af de store græske matematikere. Han kom fra Alexandria i Ægypten. Han skrev en række bøger, hvor han opsummerede mange af de gamle grækeres resultater, samtidigt med, at han også selv bidrog med nye teorier. En af hans sætninger er i dag en af de grundlæggende sætninger indenfor området projektiv geometri. Vi skal se på, hvordan han kunne tredele vinkler ved hjælp af keglesnit, her en hyperbel. Først vil vi beskrive metoden, dernæst bevise dens rigtighed. Figur 4
Konstruktion: Den givne vinkel, som ønskes tredelt, anbringes på en cirkel som cirkelbuen AB, som også er det samme som vinklen AOB. Forbind A og B med en linje. Konstruér midtpunktet M af AB og oprejs en normal til AB i dette punkt. Med denne normal som ledelinje, med brændpunkt i B og excentricitet 2 tegnes nu en hyperbel. Hyperblens skæring med cirklen i C er det ønskede punkt, som tredeler cirkelbuen AB. Det kan udtrykkes på to måder:
Argumentation: Antag, at C er det punkt, som tredeler buen AB. Vi skal vise, at punktet C ligger på omtalte hyperbel. En sætning siger, at en periferivinkel er halvt så stor som den tilhørende centervinkel. Eftersom buen AC er dobbelt så stor som buen BC, fås derfor:
Halvér nu vinklen ABC med en linje. Denne linje vil skære linjestykket AC i et punkt P, der ligger på midtnormalen til linjestykket AB. Dette følger af, at trekant ABP er en ligebenet trekant, da den har to ens vinkler (se figuren). Man ser også nemt ved at betragte vinkler, at trekanterne ABC og BPC er ensvinklede. Deraf følger:
hvor 1. lighedstegn fås, da trekanterne ABC og BPC er ensvinklede, det andet lighedstegn fås, da linjestykkerne PB og AP er lige store. Det tredje lighedstegn fås, da trekanterne ACN og AMP er ensvinklede. Af ovenstående lignings sidste og første udtrykfås straks:
hvormed
Hvis vi tegner hyperblen med brændpunkt i B, med ledelinje MP og excentricitet 2, så siger den sidste ligning netop, at punktet C ligger på hyperblen, eftersom ligningen præcist udtrykker, at C's afstand til brændpunktet er dobbelt så stor som dets afstand til ledelinjen. Dermed er det ønskede vist.
Archimedes indskydningsmetodeArchimedes (287 f. Kr. - 212 f. Kr.) angav mindst to metoder til tredeling af vinkler. Den ene var en tredeling ved hjælp af en spiral. Den anden var en indskydningsmetode. Sidstnævnte går ud på følgende: Givet en vinkel POQ, som ønskes tredelt. Man tegner en halvcirkel med vilkårlig radius r og med centrum i O. En lineal har to mærker med indbyrdes afstand r. Man skubber nu linealen på plads, så den går igennem P og så de to mærker på linealen rammer henholdsvis cirklen og grundlinjen for halvcirklen. Så vil linealen danne en vinkel med grundlinjen, som er lig med en tredjedel af vinkel POQ. Det overlades til læseren at bevise dette ved at kigge på forskellige ligebenede trekanter på figuren nedenfor.
Archimedes var oldtidens største matematiker. Han var uhyre kreativ både indenfor matematik og ingeniørvidenskab. Jeg vil ikke komme nærmere ind på hans bedrifter her. Det vil kræve et større afsnit. Lad mig blot slutte af med et par illustrationer af Archimedes.
Bidrag fra den muslimske verdenEfter grækernes storhedstid var det i de muslimske lande, især Persien, hvor der blev gjort fremskridt i problemet med konstruktion med passer og lineal. Hermed ikke ment, at perserne kom til en afklaring af de klassiske problemer. Derimod begyndte de at se på de gamle græske problemer på en ny måde, nemlig ved at anskue dem fra en algebraisk synsvinkel. Man begyndte således at studere løsninger til polynomieligninger, både af 2. og 3. grad. Den matematiske udvikling i den muslimske verden begyndte omkring år 800 og var centreret omkring Bagdad. Perioden startede med den femte kalif i Abbasid dynastiet, Harun al-Rashid,som tiltrådte i 786. Han opfordrede til videnskabelige studier, og man begyndte snart at oversætte nogle af de store græske værker til arabisk, blandt andet Euklids Elementer, Archimedes' arbejder Cirklen og Cylinderen og Cirklens udmåling, Apolonius' værker og Ptolemæus' Almagest. Den næste kalif, sønnen al-Ma'mun, gjorde endnu mere for sagen og stiftede blandt andet Bayt al-Hikma (Visdommens hus) i Bagdad. Det blev et center for både oversættelse af kendte værker og forskning i matematik og astronomi. Udover grækerne lærte muslimerne også af Inderne (aritmetik) og af Babylonerne. Matematikerne fik således i denne periode ofte deres støtte fra religiøse magthavere, og de svarede ved i begyndelsen og slutningen af deres skrifter altid at indføje Guds navn, og undertiden også referere til guddommelig inspiration undervejs i teksterne. Der var selvfølgelig også islamiske magthavere, som ikke støttede videnskaben og som mente, at alt hvad der var nødvendigt at vide, stod i Koranen. De var imidlertid ikke toneangivende i denne periode. En af de første og mest betydningsfulde bidragydere var al-Khwarizmi
(ca. 780 - ca. 850). I hans teorier blev rationale tal, irrationale
tal og geometrisk definerede størrelser Efter al-Khwarizmi fulgte folk som Abu Kamil (ca. 850 - ca. 930), al-Karaji (953 - 1029) og al-Samawal (ca. 1130 - ca. 1180). Sidstnævnte begyndte et systematisk studie af eksponenters algebra. Vi kunne fortsætte med at nævne muslimske matematikere, men vil slutte af med én, som gav et bidrag til forståelsen af hvilke problemer, der kan løses med passer og lineal. Al-Khayyami (1048 - 1131) - også kendt som Omar Khayyám - fra det nuværende Iran, undersøgte løsninger til alle mulige ligninger
af 3.
grad. Grunden til, at dette var et interessant problem var, at en del
af de gamle græske problemer, herunder
hvor a og b er positive tal. Han viste, at en løsning kan findes ved at bestemme skæringen mellem en cirkel og en parabel. I moderne notation svarer det han gjorde til at bestemme skæringen P mellem cirklen med ligning
og parablen med ligning
og derefter bestemme projektionen OQ på x-aksen. Det overlades til læseren at vise, at dette giver den rigtige løsning x til ovenstående 3. gradsligning. Figur 6
Europæerne kommer på banenFørst omkring 1100-tallet kom europæerne i gang med at forske i matematik. Her var perserne og araberne en vigtig inspirationskilde. Meget af den gamle græske matematik kom til sydeuropæernes kendskab gennem arabiske oversættelser. I Spanien omkring Toledo havde kristne generobret tidligere muslimske områder. Jøder, som kunne tale arabisk flydende, oversatte de arabiske tekster til spansk og disse blev så ofte oversat videre til Latin af kristne. Som et eksempel kan nævnes, at jøden John of Seville og filosoffen og teologen Gundisalvo oversatte et værk af al-Kwarizmi. Englænderen Robert af Chester, som boede i Spanien i en periode, oversatte Algebra af al-Kwarizmi i 1145, hvorved europæerne blev bekendtgjort med algebraiske algoritmer til løsning af kvadratiske ligninger. En arabisk version af Euklids Elementer blev oversat af italieneren Gerard af Cremona (1114 - 1187). Der foregik således en stor udveksling af viden mellem jødiske, kristne og islamiske kulturer i 1100-tallet. Det skal i den forbindelse også lige nævnes, at man meget senere, i 1600-tallet, oversatte en lang række af de græske værker direkte fra græsk til latin. Nogle af dem var genoversættelser,nu udført af egentlige matematikere, herunder blandt andet den italienske geometer Federigo Commandino (1509 - 1575). Tilbage til 1200-tallet: En af de første europæiske skribenter i algebra var Leonardo af Pisa (1170 - 1250) (også kendt under navnet Fibonacci). Han udgav i 1202 bogen Liber Abbaci. Den blev til efter mange rejser i den islamiske verden, hvor han stiftede bekendtskab med værker på arabisk. Han mestrede denne viden og bragte den videre til europæerne. I det 14. århundrede var handlen i Italien vokset voldsomt og den behøvede ny matematik for at kunne behandle de nye økonomiske forhold. Dermed blev abacist'erne til. Det var professionelle matematikere, som skrev bøger, som de brugte til at lære købmændenes sønner den nødvendige matematik.Fra Italien bredte de nye matematiske teorier sig til det øvrige Europa.
Cardano og tredjegradsligningenEn vigtig milesten i matematikkens historie var opdagelsen af en formel til beregning af rødderne i en tredjegradsligning. Her kom flere italienere med et bidrag, herunder Scipione del Ferro (1465 - 1526) og Niccolò Tartaglia fra Brescia (1499 - 1557). Det var dog Gerolamo Cardano (1501 - 1576), som kom med den mest omfattende beskrivelse af løsninger. Hans værk, Ars Magna, sive de Regulis Algebraicis, skulle vise sig at udøve stor indflydelse på algebraen. Han kunne dog ikke beskrive de løsninger, som involverer komplekse tal. Figur 7
Trådene samlesAraberne havde allerede omkring år 1000 været på sporet af en sammenhæng mellem vinkeltredelinger og løsningerne til en tredjegradsligning. Al-Biruni (973 - 1048) viste, at siden x i en regulær 18-kant indskrevet i en enhedscirkel opfylder tredjegradsligningen
Eftersom siden i en regulær 18-kant netop er korden for en vinkel på 20 grader, så svarer en konstruktion af roden altså til at tredele en vinkel på 60 grader. En mere generel ligning, der svarer til tredeling af en vinkel på v blev dog først fundet senere. Araberen Al-Kashi (1380 - 1429), der arbejdede med trigonometriske tabeller ved det store observatorium i Samarkand, fandt ud af, at man kunne bestemme sin(1°) udfra sin(3°) ved at løse følgende tredjegradsligning:
Eftersom man kan vise, at
fremgår det nemlig, at
er løsning til tredjegradsligningen. Franskmanden René Descartes (1596 - 1650) beviste den trigonometriske identitet i 1637. Det blev altså efterhånden klart for matematikerne, at opgaven med at tredele en vinkel med passer og lineal er ækvivalent med at konstruere rødder i ligninger af tredje grad. Med Cardanos opdagelser af løsningerne til tredjegradsligningen (og fjerdegradsligningen) blev fokus flyttet lidt væk fra de klassiske problemer. Man blev indtil begyndelsen af 1800-tallet optaget af at søge efter formler til bestemmelse af rødderne i en generel ligning af grad 5 eller højere. Kravet til en formel var, at den måtte involvere koefficienterne til ligningen og at formlen måtte indeholde multiplikationer, divisioner, additioner, subtraktioner og uddragning af n'te rødder. Den franske matematiker Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) gjorde et vigtigt skridt fremad ved at studere permutationer af rødderne i et polynomium. Det førte til, at den unge norske matematiker Niels Henrik Abel (1802 - 1829) i en alder af kun 22 år som den første kunne levere et kompletbevis for at den søgte formel ikke findes! Algebraen var hermed blevet veludviklet. Den store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) var herefter i stand til at tage et skridt fremad i et andet af de gamle græske problemer: At finde ud af, hvilke regulære polygoner, der kan konstrueres med passer og lineal. Grækerne havde vist, at en regulær 3- og 5-kant kunne konstrueres. I en alder af kun 18 år lykkedes det Gauss at finde en konstruktionsmetode for en regulær 17-kant. Senere beviste han, at hvis nogle bestemte kriterier var opfyldt, så var den pågældende regulære polygon konstruérbar. Han påstod, dog uden at bevise det, at hvis disse kriterier ikke var opfyldt, så ville den pågældende regulære polygon ikke være konstruérbar. Blandt andet var påstanden, at en regulær 9-kant ikke kan konstrueres. Havde Gauss bevist denne påstand ville han samtidigt have klaret det gamle klassiske problem med tredeling af vinkler. For i en nikant spænder siderne over en vinkel på 40°. Hvis denne vinkel ikke kan konstrueres, vil en vinkel på 120° jo ikke kunne tredeles. Gauss angav som sagt intet bevis for ovenstående påstand, men meget tyder på, at han ret nemt ville kunne have klaret det, hans øvrige teorier taget i betragtning. I stedet blev sætningen bevist af franskmanden Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848) i 1837. Jeg vil stoppe beretningen her. Et moderne bevis kan findes i min pdf-note længere nede på siden.
Vinkeltredeling udenfor professionelle matematikerkredseGrundet til, at problemet med at tredele vinkler med passer og lineal, ikke blot har været debatteret i en snæver kreds af matematikere, som tilfældet er med så mange af nutidens problemer, er vel, at problemet er uhyre nemt at forstå. Samtidigt har det virket ansporende for " amatørmatematikere" at problemet i århundreder har stået uløst, for hvem vil ikke gerne være den, som overtrumfer alverdens matematikgenier! Berømmelsen ville være sikret. Således har mange i tidens løb indsendt forslag til bedømmelse. Løsningsforslagene har været af vekslende kvalitet. I 1775, før det endelige bevis for uløseligheden, var de mange indsendte løsningsforslag efterhånden blevet for meget for den højeste franske videnskabelige institution l'Académie des Sciences, så det bekendtgjorde, at det ikke længere ville bedømme dem. De skrev blandt andet: ... Mange har det uheld at tro, at det er lykkedes, de benægter de argumenter, hvormed matematikere bestrider deres løsninger, ofte kan de ikke forstå dem, og de ender med at beskylde dem for misundelse og uærlighed. Af og til udarter deres påståelighed til sandt galskab..... Andre forsøg har været udfærdiget af aldeles kompetente personer, og nogle forslag viser sig at være interessante approksimative metoder, eller metoder som bruger ekstra hjælpemidler. Men uanset, hvor genial man er, så vil det altså aldrig lykkes. En konstruktionsmetode findes simpelthen ikke! Mange misforstår dette udsagn derhen, at man har opgivet at finde en løsning. Det er svært at forstå, at man kan bevise, at noget er umuligt. Dette kræver da også en meget generel angrebsvinkel og at man nøje analyserer hvad det egentligt implicerer at man kan konstruere et punkt med passer og lineal. Lad os slutte at med af se på et par løsningsforslag. Den berømte tyske maler Albrecht Dürer (1471 - 1528) havde et ikke ubetydeligt talent for matematik og han kunne drage nytte af sine studier i geometri (blandt andet linearperspektivet) i sine kunstværker. I 1525 præsenterede han følgende tilnærmede metode til at tredele en vinkel (se figur 8): Vinklen AOB ønskes tredelt. Korden AB tredeles. Lad C være det delepunkt på korden, som er nærmest B. Oprejs i punktet C en normal til korden AB til skæring med cirkelbuen i D. Med centrum i B og radius lig med afstanden BD tegnes en cirkel til skæring med korden AB i E. Linjestykket EC tredeles, og lad F være det delepunkt, som er tættest E. Tegn cirklen med radius BF og med centrum i B. Denne cirkelbues skæring med den oprindelige cirkel betegnes G. Cirkelbuen BG er da tilnærmelsesvist en tredjedel af cirkelbuen BA. Metoden har en meget lille fejl. For en vinkel på omkring 60 grader vil fejlen kun blive ca. 1''. Figur 8
I det sidste eksempel vil jeg vise en tilnærmet metode, der skyldes en tidligere dansk kaptajn, Hans Christensen, som jeg tilfældigvis mødte for nogle få år siden i hans hjem i Marstal på Ærø. I sin fritid gik han ofte og syslede med matematiske problemer. Blandt andet indsendte han til DTH (nu DTU) et løsningsforslag til tredeling af vinkler. Hans Christensen lever ikke mere, men jeg har fået tilladelse af hans kone, Anna Christensen, til at lægge hans metode ud på nettet. Du kan klikke på nedenstående knap og se hans egen beskrivelse. Han giver faktisk to metoder. På trods af den retoverfyldte tegning, er hans beskrivelse faktisk ikke svær at følge, og den er ikke så involveret, som man først skulle tro. Metode 1 har jeg analyseret nærmere ved at udregne analytiske udtryk for det konstruerede punkt O og opstille et regneark. Hans metode giver for vinkler mellem 0 og 180 grader aldrig en fejl på over 1 promille. Den procentvise fejl er størst når vinklen er omkring 135 grader. Her er den procentvise fejl ca. 0,08%. Altså en meget nøjagtig metode, som han kan være stolt af. Klik på knappen!
For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.
En skitse til et bevis for uløselighedenSom du nok kan gætte er et bevis for uløseligheden af problemet ikke let. Det er ikke for ingenting, at det tog over 2000 år at komme frem til en endelig afklaring. Man måtte ty til algebraen for at løse det geometriske problem. Dette er blot et af de efterhånden adskillige eksempler på, hvad der sker af kraftfulde ting, når to grene af matematikken, så overraskende spiller sammen. Jeg vil give en kort oversigt over idéen i beviset. Hvis du har brug for at se de lovlige operationer for passer og lineal, kan de ses ved at klikke her:
Note om vinkeltredelingens uløselighedOvenfor så du en skitse af beviset for sætningen, der siger, at ikke alle vinkler kan tredeles. Hvis du vil se detaljerne kan du læse nedenstående note i pdf-format. Noten er vel på " 4g-niveau" og kræver en vis matematisk modenhed at forstå. Men der stilles ikke krav om nogen forudsætninger, der ligger udover, hvad der gennemgås i gymnasiet. Måske har du altid ønsket at se et bevis for et at matematikhistoriens store problemer. I så fald bør du ikke betænke dig ... For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.
LitteraturJeg vil lige nævne nogle kilder, som med fordel kan konsulteres, hvis man vil vide mere om dette historiske emne. Der er masser af stof til eventuelle større skriftlige opgaver i matematik i gymnasiet. Kirsti Andersen (redaktør). Kilder og kommentarer til LIGNINGERNES HISTORIE. Forlaget TRIP 1986. Eric Bainville, Bernard Genevés. Constructions Using Conics. The Mathematical Intelligencer, Volume 22, number 3, s. 60-72. Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. Fourth Edition, Holt, Rinehart and Winston, 1976. Sir Thomas Heath. A History of Greek Mathematics, Volume I, From Thales to Euclid. Dover Publications Inc., 1981 (opr. 1921). Victor J. Katz. A History of Mathematics, An Introduction. 2. edition, Addison-Wesley, 1998. Jesper Lützen. Cirklens kvadratur, Vinklens tredeling, Terningens fordobling. Fra oldtidens geometri til moderne algebra. Systime, 1985. Asger Aaboe. Episoder fra Matematikkens Historie. 2. udgave, Borgens Forlag, 1986.
|
|
|
behandlet
under ét som " algebraiske objekter" , man kunne manipulere
med i ligninger. På den måde tog han et afgørende skridt væk fra
grækernes geometriske verden, og grundlagde reelt algebraen.
En løsning til en ligning blev ikke betragtet som et linjestykke,
men simpelthen som et tal. Hvad muslimerne især lærte af grækerne,
var begrebet " matematisk bevis" , dvs. de lærte kun at
anse et matematisk problem som værende løst, hvis man kunne demonstrere,
at løsningen var gyldig. Disse beviser var af geometrisk art, så
på denne måde forlod muslimerne ikke geometrien helt. En løsning til
en ligning blev således ofte beskrevet ved hjælp af skæringer mellem
geometriske kurver. al-Khwarizmi søgte at katagorisere løsninger
til 2. gradsligninger. Han skrev alt ud i ord, og gjorde altså ikke
brug af den matematiske notation, der så effektivt letter vores
tankegang i dag. 
kubens
fordobling, naturligt ledte til en sådan ligning. Da perserne kun betragtede positive tal som koefficienter
måtte de dele op i en række tilfælde. En af tilfældene, matematikeren
og poeten al-Khayyami
betragtede, var ligningen:
