Henry Briggs og titalslogaritmen

Som omtalt andetsteds på min hjemmeside regner man skotten John Napier (1550 - 1617) for at være den første, som indførte logaritmerne. Titalslogaritmen af i dag skyldes imidlertid en anden person, nemlig den engelske matematiker Henry Briggs (1561 - 1630), der var professor på Gresham College i London. Da Briggs hørte om Napiers opdagelser så han straks logaritmernes anvendelighed til at afhjælpe det tunge beregningsarbejde inden for navigation. Flåden på den tid havde en enorm betydning og var selve nøglen til Englands sikkerhed -- tænk på englændernes søslag med den spanske armada i 1588! Briggs begejstring for logaritmerne kan umiddelbart aflæses af følgende berømte citat fra en af hans breve til ærkebiskop Usher, dateret Gresham House, 10. marts 1615:

Neper, lord of Markinston, hath set my head and hands a work with his new and admirable logarithms. I hope to see him this summer, if it please God, for I never saw book, which pleased me better and made me more wonder.

Napiers navn er stavet lidt specielt her, hvilket skyldes, at der på dette tidspunkt ikke fandtes nogen retskrivningsstandard i England. Det lykkedes for Briggs at få et møde i stand med  Napier, og det fandt sted i 1615. Under besøget diskuterede de to herrer at omdefinere Napiers " logaritme" , og de blev enige om, at det var mest hensigtsmæssigt, hvis logaritmen opfyldte

hvilket giver en logaritme, som er 10 opløftet til niende potens gange vores nuværende titalslogaritme. Senere ændrede Briggs logaritmen til den nuværende. Napier var imidlertid for svag af sygdom til at fremstille en ny tabel, så det faldt i Briggs' lod at klare dette.

I 1624 udgav Henry Briggs bogen Arithmetica Logarithmica, som udover en tabel bestående af logaritmerne fra 1 til 20.000 og fra 90.000 til 100.000 med 14 decimalers nøjagtighed indeholdt forklaringer og eksempler på tabellens udregning og brug -- dog uden bevis for metodernes rigtighed.

Briggs' fremgangsmåde ved beregning af logaritmer var fundamental forskellig fra Napiers. Han gjorde brug af en lang række forskellige kneb, som det vil føre for vidt at komme ind på her. En meget fundamentalt idé skal dog nævnes, idet den mere end 300 år senere blev anvendt i Hewlett Packards (HP) lommeregnere fra 1970'erne:

1)   For x lille er log(x+1) omtrent lig med kx, hvor k = 0,43429448190325180...

Med moderne terminologi kan det mere præcist udtrykkes derved, at det approksimerende 1. gradspolynomium til logaritmefunktionen i punktet 1 er en god tilnærmelse til funktionen i nærheden af dette punkt. Bruger man desuden produktreglen og potensreglen for logaritmer, så kan 1) også anvendes til at bestemme logaritmen til et tal, der ligger langt fra udviklingspunktet 1. Det var netop, hvad Briggs gjorde: Han ville bestemme logaritmen til 2 og bemærkede, at hvis man tager kvadratroden til et tal, så er logaritmen til denne kvadratrod lig med det halve af logaritmen til det oprindelige tal:

Idéen var at tage kvadratroden af 2 et utal af gange indtil han kom til et tal tæt nok på 1 til, at han derefter kunne bruge approksimationen 1). Det viste sig, at det var nødvendigt med 54 kvadratrods uddragninger. For at komme tilbage til logaritmen til 2 måtte han så gange med 2⁵⁴.

Ovenfor ser vi resultatet af det kæmpe arbejde, som dog blev reduceret ved diverse snedige tricks, herunder en differensmetode til at speede kvadratrodsuddragningerne op. Så havde Briggs kvadratroden til 2. Hurra! kunne man få lyst til at sige, hvis man da ikke huskede de resterende 99.999 logaritmer, han manglede at bestemme. Efter at have bestemt logaritmerne til en ret begrænset mængde af primtal på ovenstående besværlige metode og derefter bestemt logaritmerne til en masse sammensatte tal ved hjælp af produktreglen for logaritmer, var der stadig lang vej igen -- der var store huller i talrækken, hvis logaritmer manglede at blive bestemt.

Det lykkedes Briggs ved simpel interpolation og diverse andre tricks at bestemme logaritmerne til alle tal fra 1 til 20.000 og fra 90.000 til 100.000. Det store gab imellem 20.000 og 90.000 nåede Briggs dog aldrig at udregne. Det blev i stedet gjort af hollænderen Adrian Vlach (1600 - 1666 (67?)). Henry Briggs anviste dog en metode til at bestemme de manglende logaritmer: For det første kunne man hurtigt finde logaritmerne til hvert femte tal: 20.000, 20.005, 20.010, 20.015 , ... , 90.000. Disse tal er nemlig produktet mellem 5 og 4000, 4001, 4002, 4003, ... , 18.000, hvis logaritmer jo var kendte. Hvad angår logaritmerne til de fire mellemliggende tal imellem hvert par af ovenstående tal, så kommer en af Briggs helt store fortjenester til sin ret: Han designede en genial og højst original differensmetode til formålet. Det vil dog føre for vidt at gå mere ind på metoden her.

Litteratur

Henry Briggs. Arithmetica Logarithmica. London 1624.
Henry Briggs. Trigonometria Britannica. Gaudae, 1633.
Herman H. Goldstine. A History of Numerical Analysis from the 16th through the
19th Century. Springerverlag, 1977.
Charles Hutton. Mathematical Tables. 5. udgave, London, 1811.
Leif Kahl Kristensen. Om logaritmisk-trigonometriske tabeller. Nordisk matematisk tidsskrift, hæfte 2, 1998.
William Edmund Milne. Numerical Calculus. Princeton University Press, 1649.
Erik Vestergaard. En revolution i regnekunsten - logaritmernes oprindelse, beregning
og brug. Forlaget ABACUS, Danmark, 1996.
Erik Vestergaard. Henry Briggs' differensmetode. Nordisk matematisk tidsskrift, 2, 1997.

I min artikel i Nordisk matematisk tidsskrift er der en nøje gennemgang af Briggs' smarte differensmetode til subtabulering af sin logaritmetabel. Leif Kahl Kristensens artikel i samme tidsskrift er en interessant omtale af diverse tabeller og deres tilblivelse. Briggs' originale værk, Arithmetica Logarithmica fra 1624 kan i øvrigt beses på læsesalen på Danmarks Natur- og lægevidenskabelige bibliotek i København -- der er nu noget magisk over at sidde med så gammel en bog af en af de store mestre i hånden, med store knitrende sider!

Min bog En revolution i regnekunsten, nævnt ovenfor kan købes hos forlaget ABACUS. Bogen kan ses omtalt på forlagets hjemmeside under " produkter" : www.forlaget-abacus.dk